Phương pháp đồng nhất thức

     

Bài viết trả lời phương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ, đấy là dạng tích phân được bắt gặp thường xuyên trong lịch trình Giải tích 12 chương 3 (nguyên hàm – tích phân cùng ứng dụng).

Bạn đang xem: Phương pháp đồng nhất thức

1. Phương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉBài toán tổng quát: Tính tích phân $I = int_alpha ^eta fracP(x)Q(x) dx$ với $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức.

Trường thích hợp 1: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $Dạng 1: $int_alpha ^eta fracAax + b dx$ $ = fracAaleft. ln left ight|_alpha ^eta $ $ = fracAaln left| fracaeta + baalpha + b ight|.$

Dạng 2: $I = int_alpha ^eta fracAax^2 + bx + c $, phụ thuộc vào biệt thức $Delta = b^2 – 4ac$ của mẫu số, ta chia thành các trường hợp:+ Nếu $Delta > 0$, ta có: $I = int_alpha ^eta fracAaleft( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight) dx$ $ = fracAaleft( x_2 – x_1 ight)int_a^eta left( frac1x – x_2 – frac1x – x_1 ight) $.+ Nếu $Delta = 0$, ta có: $I = int_alpha ^eta fracAdxaleft( x – x_0 ight)^2 $ $ = – left. fracAaleft( x – x_0 ight) ight|_alpha ^eta .$+ Nếu $Delta Dạng 3: $I = int_alpha ^eta fracAx + Bax^2 + bx + c dx$, dựa vào biệt thức $Delta = b^2 – 4ac$ của mẫu số, ta chia thành các trường hợp:+ Nếu $Delta > 0$, ta có: $I = int_alpha ^eta fracCleft( x – x_1 ight) + Dleft( x – x_2 ight)aleft( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight) dx$ $ = frac1aint_alpha ^eta left( fracCx – x_2 + fracDx – x_1 ight) dx$.+ giả dụ $Delta = 0$, ta có: $I = int_alpha ^eta fracAx + Baleft( x – x_0 ight)^2 dx$ $ = frac1aint_a^eta fracAleft( x – x_0 ight) + Caleft( x – x_0 ight)^2 dx$ $ = frac1aint_alpha ^eta left( fracAx – x_0 + fracCleft( x – x_0 ight)^2 ight) dx$.+ Nếu $Delta Dạng 4: nếu như $Q(x)$ tất cả bậc lớn hơn $2$, ta triển khai giảm bậc bằng cách đổi biến, tách ghép, nhân, phân chia … để mang bài toán về các dạng 1, dạng 2, dạng 3.

Xem thêm: Soạn Bài Ôn Tập Tác Phẩm Trữ Tình (Tiếp Theo), Soạn Bài Ôn Tập Tác Phẩm Trữ Tình

Trường phù hợp 2: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $≥$ bậc của chủng loại số $Q(x)$, ta sử dụng phép phân tách đa thức: $I = int_alpha ^eta fracP(x)Q(x) $ $ = int_alpha ^eta left< H(x) + fracR(x)Q(x) ight> dx$ $ = int_alpha ^eta H (x)dx + int_alpha ^eta fracR(x)Q(x) dx$ $ = I_1 + I_2$, trong các số ấy $I_1$ là tích phân cơ bản, $I_2$ là tích phân hàm số phân thức hữu tỉ có bậc tử số nhỏ tuổi hơn bậc mẫu số.

Xem thêm: Máy Nén Thủy Lực Vật Lý 8 - Tự Làm Thiết Bị Máy Nén Thủy Lực

Chú ý: Đối cùng với những việc phức tạp, để đưa về những dạng 1, 2, 3 ta nên thực hiện biến hóa phân số ban sơ thành tổng các phân số và tìm những hệ số bằng phương pháp đồng nhất thức. Một trong những trường đúng theo thường gặp:• $frac1(ax + b)(cx + d)$ $ = frac1ad – bcleft( fracaax + b – fracccx + d ight).$• $fracmx + n(ax + b)(cx + d)$ $ = fracAax + b + fracBcx + d.$• $fracmx + n(ax + b)^2$ $ = fracAax + b + fracB(ax + b)^2.$• $fracmx + n(ax + b)^2(cx + d)$ $ = fracA(ax + b)^2 + fracBcx + d + fracCax + b.$• $frac1(x – m)left( ax^2 + bx + c ight)$ $ = fracAx – m + fracBx + Cax^2 + bx + c$, với $Delta = b^2 – 4ac • $frac1(x – a)^2(x – b)^2$ $ = fracAx – a + fracB(x – a)^2$ $ + fracCx – b + fracD(x – b)^2.$• $fracP(x)left( x – x_o ight)^n$ $ = fracAx – x_o + fracBleft( x – x_o ight)^2$ $ + ldots + fracCleft( x – x_o ight)^n.$• $fracP(x)left( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight)left( x – x_3 ight)…$ $ = fracAx – x_1 + fracBx – x_2$ $ + fracCx – x_3 + cdots .$

2. Một trong những bài toán minh họaBài toán 1: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_1^2 fracx^32x + 3 dx.$b) $I = int_sqrt 5 ^3 fracx^2 – 5x + 1 dx.$c) $int_0^frac12 fracx^3x^2 – 1 dx.$

a) Ta có: $fracx^32x + 3$ $ = frac12 cdot fracleft( 2x^3 + 3x^2 ight) – frac32left( 2x^2 + 3x ight) + frac94(2x + 3) – frac2742x + 3$ $ = fracx^22 – frac34x + frac98 – frac278(2x + 3).$Suy ra: $int_1^2 fracx^32x + 3 dx$ $ = int_1^2 left( fracx^22 – frac34x + frac98 – frac278(2x + 3) ight) dx$ $ = left. left( frac13x^3 – frac38x^2 + frac98x – frac2716ln ight) ight|_1^2$ $ = – frac136 – frac2716ln 35.$b) Ta có: $fracx^2 – 5x + 1$ $ = fracx^2 – 1 – 4x + 1$ $ = x – 1 – frac4x + 1.$Suy ra: $int_sqrt 5 ^3 fracx^2 – 5x + 1 dx$ $ = int_sqrt 5 ^3 left( x – 1 – frac4x + 1 ight) dx$ $ = left. left( frac12x^2 – x – 4ln ight) ight|_sqrt 5 ^3$ $ = sqrt 5 – 1 + 4ln left( fracsqrt 5 + 14 ight).$c) Ta có: $fracx^3x^2 – 1$ $ = fracxleft( x^2 – 1 ight) + xx^2 – 1$ $ = x + fracxx^2 – 1.$Suy ra: $int_0^frac12 fracx^3x^2 – 1 dx$ $ = int_0^frac12 left( x + fracxx^2 – 1 ight) dx$ $ = int_1^frac12 x dx + int_0^frac12 fracxdxx^2 – 1 $ $ = left. fracx^22 ight|_0^frac12 + frac12ln left. x^2 – 1 ight ight|_0^frac12$ $ = frac18 + frac12ln frac34.$

Bài toán 2: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ: $I = int_0^1 frac4x + 11x^2 + 5x + 6 dx.$

Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức)Ta có: $f(x) = frac4x + 11x^2 + 5x + 6$ $ = frac4x + 11(x + 2)(x + 3)$ $ = fracAx + 2 + fracBx + 3$ $ = fracA(x + 3) + B(x + 2)(x + 2)(x + 3).$Thay $x = – 2$ vào hai tử số: $3 = A$ và ráng $x = -3$ vào nhị tử số: $-1 = -B$ suy ra $B = 1.$Do đó: $f(x) = frac3x + 2 + frac1x + 3.$Vậy: $int_0^1 frac4x + 11x^2 + 5x + 6 dx$ $ = int_0^1 left( frac3x + 2 + frac1x + 3 ight) dx$ $ = 3ln |x + 2| + ln left. ight|_0^1$ $ = 2ln 3 – ln 2.$Cách 2: (Nhảy tầng lầu)Ta có: $f(x) = frac2(2x + 5) + 1x^2 + 5x + 6$ $ = 2.frac2x + 5x^2 + 5x + 6$ $ + frac1(x + 2)(x + 3)$ $ = 2.frac2x + 5x^2 + 5x + 6$ $ + frac1x + 2 – frac1x + 3.$Suy ra: $I = int_0^1 f (x)dx$ $ = int_0^1 left( 2.frac2x + 5x^2 + 5x + 6 + frac1x + 2 – frac1x + 3 ight) dx$ $ = left. left( ight) ight|_0^1$ $ = 2ln 3 – ln 2.$

Bài toán 3: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_0^3 fracx^3x^2 + 2x + 1 dx.$b) $I = int_0^1 frac4x4x^2 – 4x + 1 dx.$

a)Cách 1: triển khai cách chia đa thức $x^3$ cho đa thức $x^2 + 2x + 1$, ta được:$fracx^3x^2 + 2x + 1$ $ = x – 2 + frac3x + 2x^2 + 2x + 1.$$I = int_0^3 fracx^3x^2 + 2x + 1 dx$ $ = int_0^3 (x – 2) dx$ $ + int_0^3 frac3x + 3 – 1x^2 + 2x + 1 dx$ $ = left. left( fracx^22 – 2x ight) ight|_0^3$ $ + frac32int_0^3 fracdleft( x^2 + 2x + 1 ight)x^2 + 2x + 1 $ $ – int_0^3 fracdx(x + 1)^2 $ $ = – frac32 + frac32ln left. (x + 1)^2 ight|_0^3$ $ + left. frac1x + 1 ight|_0^3$ $ = – frac32 + frac32ln 16 + frac14 – 1$ $ = – frac94 + 6ln 2.$Cách 2: Ta có: $int_0^3 fracx^3x^2 + 2x + 1 dx$ $ = int_0^3 fracx^3(x + 1)^2 dx.$Đặt $t = x + 1$, suy ra: $dx = dt$, $x = t – 1.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 0 Rightarrow t = 1\x = 3 Rightarrow t = 4endarray ight.$Do đó: $int_0^3 fracx^3(x + 1)^2 dx$ $ = int_1^4 frac(t – 1)^3t^2 dt$ $ = int_1^4 left( t – 3 + frac3t – frac1t^2 ight) dt$ $ = left. left( frac12t^2 – 3t + 3ln ight) ight|_1^4$ $ = – frac94 + 6ln 2.$b) Ta có: $frac4x4x^2 – 4x + 1$ $ = frac4x(2x – 1)^2.$Đặt $t = 2x – 1$ suy ra: $dt = 2dx$ $ o dx = frac12dt.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 0 Rightarrow t = – 1\x = 1 Rightarrow t = 1endarray ight.$Do đó: $int_0^1 frac4x4x^2 – 4x + 1 dx$ $ = int_0^1 frac4x(2x – 1)^2 dx$ $ = int_ – 1^1 frac4.frac12(t + 1)t^2 frac12dt$ $ = int_ – 1^1 left( frac1t + frac1t^2 ight) dt$ $ = left. left( t ight) ight|_ – 1^1$ $ = – 2.$Bài toán 4: Tính những tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_0^2 fracxx^2 + 4x + 5 dx.$b) $I = int_0^2 fracx^3 + 2x^2 + 4x + 9x^2 + 4 dx.$

a) Ta có: $int_0^2 fracxx^2 + 4x + 5 dx$ $ = int_0^2 fracx(x + 2)^2 + 1 dx.$Đặt $x + 2 = an t$, suy ra: $dx = frac1cos ^2tdt$.Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 0 Rightarrow an t = 2\x = 2 Rightarrow an t = 4endarray ight.$Do đó: $int_0^2 fracx(x + 2)^2 + 1 dx$ $ = int_t_1^t_2 frac an t – 21 + an ^2t fracdtcos ^2t$ $ = int_t_1^t_2 left( fracsin tcos t – 2 ight) dt$ $ = left. – 2t) ight|_t_1^t_2.$Từ $ an t = 2$ $ Rightarrow 1 + an ^2t = 5$ $ Leftrightarrow cos ^2t = frac15$ $ Rightarrow cos t_1 = frac1sqrt 5 $ và $ an t = 4$ $ Rightarrow 1 + an ^2t = 17$ $ Leftrightarrow cos ^2t = frac117$ $ Rightarrow cos t_2 = frac1sqrt 17 .$Vậy $left. ( – ln ight|_t_1^t_2$ $ = 2(arctan 4 – arctan 2) – frac12ln frac517.$b) Ta có: $fracx^3 + 2x^2 + 4x + 9x^2 + 4$ $ = fracx^3 + 4x + 2x^2 + 8 + 1x^2 + 4$ $ = x + 2 + frac1x^2 + 4.$Do đó: $int_0^2 fracx^3 + 2x^2 + 4x + 9x^2 + 4 dx$ $ = int_0^2 left( x + 2 + frac1x^2 + 4 ight) dx$ $ = left. left( frac12x^2 + 2x ight) ight|_0^2$ $ + int_0^2 fracdxx^2 + 4 $ $ = 6 + J.$Tính tích phân: $J = int_0^2 frac1x^2 + 4 dx.$Đặt $x = 2 an t$ suy ra: $dx = frac2cos ^2tdt.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 0 Rightarrow t = 0\x = 2 Rightarrow t = fracpi 4endarray ight.$Ta có: $t in left< 0;fracpi 4 ight>$ $ o cos t > 0.$Khi đó: $J = int_0^2 frac1x^2 + 4 dx$ $ = frac14int_0^fracpi 4 frac11 + an ^2t frac2cos ^2tdt$ $ = frac12int_0^fracpi 4 d t$ $ = frac12left. T ight|_0^fracpi 4 = fracpi 8.$Vậy $I = 6 + fracpi 8.$

Bài toán 5: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_0^1 fracx(x + 1)^3 dx.$b) $I = int_ – 1^0 fracx^4(x – 1)^3 dx.$

a)Cách 1:Đặt $x + 1 = t$, suy ra: $x = t – 1.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 0 Rightarrow t = 1\x = 1 Rightarrow t = 2endarray ight.$Do đó: $int_0^1 fracx(x + 1)^3 dx$ $ = int_1^2 fract – 1t^3 dt$ $ = int_1^2 left( frac1t^2 – frac1t^3 ight) dt$ $ = left. left( – frac1t + frac12frac1t^2 ight) ight|_1^2$ $ = frac18.$Cách 2:Ta có: $fracx(x + 1)^3$ $ = frac(x + 1) – 1(x + 1)^3$ $ = frac1(x + 1)^2 – frac1(x + 1)^3.$Do đó: $int_0^1 fracx(x + 1)^3 dx$ $ = int_0^1 left< frac1(x + 1)^2 – frac1(x + 1)^3 ight> dx$ $ = left. left< – frac1x + 1 + frac12frac1(x + 1)^2 ight> ight|_0^1$ $ = frac18.$b) Đặt $x – 1 = t$, suy ra: $x = t + 1.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = – 1 Rightarrow t = – 2\x = 0 Rightarrow t = – 1endarray ight.$Do đó: $int_ – 1^0 fracx^4(x – 1)^3 dx$ $ = int_ – 2^ – 1 frac(t + 1)^4t^3 dt$ $ = int_ – 2^ – 1 fract^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 1t^3 dt$ $ = int_ – 2^ – 1 left( t + 4 + frac6t + frac4t^2 + frac1t^3 ight) dt$ $ = left. left( t ight) ight|_ – 2^1$ $ = frac338 – 6ln 2.$

Bài toán 6: Tính những tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_2^3 frac1(x – 1)(x + 1)^3 dx.$b) $I = int_2^3 fracx^2(x – 1)^2(x + 2) dx.$

a)Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức)Ta có: $frac1(x – 1)(x + 1)^2$ $ = fracAx – 1 + fracB(x + 1) + fracC(x + 1)^2$ $ = fracA(x + 1)^2 + B(x – 1)(x + 1) + C(x – 1)(x – 1)(x + 1)^2$ $(1).$Thay hai nghiệm chủng loại số vào hai tử số: $left{ eginarray*20l1 = 4A\1 = – 2Cendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lA = frac14\C = – frac12endarray ight.$$(1) Leftrightarrow frac(A + B)x^2 + (2A + C)x + A – B – C(x – 1)(x + 1)^2$ $ Rightarrow A – B – C = 1$ $ Leftrightarrow B = A – C – 1$ $ = frac14 + frac12 – 1 = – frac14.$Do đó: $int_2^3 frac1(x – 1)(x + 1)^2 dx$ $ = int_2^3 left( frac14frac1x – 1 + frac14frac1(x + 1) – frac12frac1(x + 1)^2 ight) dx$ $ = left. left< frac14ln (x – 1)(x + 1) + frac12 cdot frac1(x + 1) ight> ight|_2^3$ $ = frac14ln 8 = frac34ln 2.$Cách 2: (Phương pháp đổi biến)Đặt: $t = x + 1$, suy ra $x = t – 1.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 2 Rightarrow t = 3\x = 3 Rightarrow t = 4endarray ight.$Khi đó: $I = int_2^3 frac1(x – 1)(x + 1)^2 dx$ $ = int_3^4 fracdtt^2(t – 2) $ $ = frac12int_3^4 fract – (t – 2)t^2(t – 2) dt$ $ = frac12left( int_2^4 frac1t(t – 2) dt – int_3^4 frac1t dt ight)$ $ Leftrightarrow I = frac12left( frac12int_2^4 left( frac1t – 2 – frac1t ight) dt – int_3^4 frac1t dt ight)$ $ = left. left( frac14ln left ight) ight|_3^4$ $ = frac34ln 2.$b) Đặt $t = x – 1$, suy ra $x = t + 1$, $dx = dt.$Đổi cận $left{ eginarray*20lx = 2 Rightarrow t = 1\x = 3 Rightarrow t = 2endarray ight.$Do đó: $int_2^3 fracx^2(x – 1)^2(x + 2) dx$ $ = int_1^2 frac(t + 1)^2t^2(t + 3) dt$ $ = int_1^2 fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3) dt.$Cách 1: (Phương pháp đồng điệu thức)Ta có: $fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3)$ $ = fracAt + Bt^2 + fracCt + 3$ $ = frac(At + B)(t + 3) + Ct^2t^2(t + 3)$ $ = frac(A + C)t^2 + (3A + B)t + 3Bt^2(t + 3).$Đồng nhất thông số hai tử số: $left{ eginarray*20lA + C = 1\3A + B = 2\3B = 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20cB = frac13\A = frac59\C = frac49endarray ight.$ $ Rightarrow fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3)$ $ = frac19fract + 3t^2 + frac49frac1t + 3.$Do đó: $int_1^2 fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3) dt$ $ = int_1^2 left( frac19left( frac1t + frac3t^2 ight) + frac49left( frac1t + 3 ight) ight) dt$ $ = left. left( ight) ight|_1^2$ $ = frac176 + frac49ln 5 – frac79ln 2.$Cách 2:Ta có: $fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3)$ $ = frac13left( frac3t^2 + 6t + 3t^3 + 3t^2 ight)$ $ = frac13left< frac3t^2 + 6tt^3 + 3t^2 + frac3t^2(t + 3) ight>$ $ = frac13left< left( frac3t^2 + 6tt^3 + 3t^2 ight) + frac19left( fract^2 – left( t^2 – 9 ight)t^2(t + 3) ight) ight>$ $ = frac13left( frac3t^2 + 6tt^3 + 3t^2 ight)$ $ + frac19frac1t + 3 – frac19fract – 3t^2$ $ = frac13left< left( frac3t^2 + 6tt^3 + 3t^2 ight) + frac19frac1t + 3 – frac19left( frac1t – frac3t^2 ight) ight>.$Vậy: $int_1^2 fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3) dt$ $ = int_1^2 left( frac13left( frac3t^2 + 6tt^3 + 3t^2 ight) + frac19left( frac1t + 3 – frac1t + frac3t^2 ight) ight) dt$ $left. = left< t^3 + 3t^2 ight ight> ight|_1^2.$Do đó: $I = frac176 + frac49ln 5 – frac79ln 2.$

Bài toán 7: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_2^3 frac1xleft( x^2 – 1 ight) dx.$b) $I = int_3^4 fracx + 1xleft( x^2 – 4 ight) dx.$c) $int_2^3 fracx^2left( x^2 – 1 ight)(x + 2) dx.$

a)Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức)Ta có: $f(x) = frac1xleft( x^2 – 1 ight)$ $ = frac1x(x – 1)(x + 1)$ $ = fracAx + fracBx – 1 + fracCx + 1$ $ = fracAleft( x^2 – 1 ight) + Bx(x + 1) + Cx(x – 1)x(x – 1)(x + 1).$Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay những nghiệm: $x = 0$, $x = 1$ với $x = -1$ vào nhị tử ta có:$left{ eginarray*20lx = 0 o 1 = – A\x = – 1 o 1 = 2C\x = 1 o 1 = 2Bendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lA = – 1\B = frac12\C = frac12endarray ight.$ $ Rightarrow f(x) = – frac1x$ $ + frac12left( frac1x – 1 ight) + frac12left( frac1x + 1 ight).$Vậy $int_2^3 frac1xleft( x^2 – 1 ight) dx$ $ = int_2^3 left( frac12left( frac1x – 1 + frac1x + 1 ight) – frac1x ight) dx$ $ = left. left< ight> ight|_2^3$ $ = frac52ln 2 – frac32ln 3.$Cách 2: (Phương pháp nhảy đầm lầu)Ta có: $frac1xleft( x^2 – 1 ight)$ $ = fracx^2 – left( x^2 – 1 ight)xleft( x^2 – 1 ight)$ $ = fracxx^2 – 1 – frac1x$ $ = frac12frac2xx^2 – 1 – frac1x.$Do đó: $int_2^3 frac1xleft( x^2 – 1 ight) dx$ $ = frac12int_2^3 frac2xdxx^2 – 1 – int_2^3 frac1x dx$ $ = left. left( frac12ln left( x^2 – 1 ight) – ln x ight) ight|_2^3$ $ = frac52ln 2 – frac32ln 3.$b)Cách 1: (Phương pháp đồng hóa thức)Ta có: $fracx + 1xleft( x^2 – 4 ight)$ $ = fracx + 1x(x – 2)(x + 2)$ $ = fracAx + fracBx – 2 + fracCx + 2$ $ = fracAleft( x^2 – 4 ight) + Bx(x + 2) + Cx (x – 2)xleft( x^2 – 4 ight).$Thay các nghiệm của chủng loại số vào nhị tử số:Khi $x = 0$, ta có: $1 = – 4A$, suy ra: $A = – frac14.$Khi $x = – 2$, ta có: $ – 1 = 8C$, suy ra: $C = – frac18.$Khi $x = 2$, ta có: $3 = 8B$, suy ra: $B = frac38.$Do đó: $f(x) = – frac14left( frac1x ight)$ $ – frac18left( frac1x – 2 ight) + frac38left( frac1x + 2 ight).$Vậy $int_3^4 fracx + 1xleft( x^2 – 4 ight) dx$ $ = – frac14int_2^3 frac1x dx$ $ – frac18int_2^3 frac1x – 2 dx$ $ + frac38int_2^3 frac1x + 2 dx$ $= left. left( x – 2 ight) ight|_2^3$ $ = frac58ln 3 – frac38ln 5 – frac14ln 2.$Cách 2: (Phương pháp nhảy đầm lầu)Ta có: $fracx + 1xleft( x^2 – 4 ight)$ $ = frac1left( x^2 – 4 ight) + frac1xleft( x^2 – 4 ight)$ $ = frac14left( frac1x – 2 – frac1x + 2 ight)$ $ + frac14left( fracx^2 – left( x^2 – 4 ight)xleft( x^2 – 4 ight) ight)$ $ = frac14left( frac1x – 2 – frac1x + 2 + frac12frac2xx^2 – 4 – frac1x ight).$Do đó: $int_3^4 fracx + 1xleft( x^2 – 4 ight) $ $ = frac14int_3^4 left( frac1x – 2 – frac1x + 2 + frac12frac2xx^2 – 4 – frac1x ight) dx$ $= left. left< x ight> ight|_3^4.$c)Cách 1: (Phương pháp nhất quán thức)Ta có: $fracx^2left( x^2 – 1 ight)(x + 2)$ $ = fracx^2(x – 1)(x + 1)(x + 2)$ $ = fracAx – 1 + fracBx + 1 + fracCx + 2$ $ = fracA(x + 1)(x + 2) + B(x – 1)(x + 2) + Cleft( x^2 – 1 ight)left( x^2 – 1 ight)(x + 2).$Thay lần lượt các nghiệm chủng loại số vào nhị tử số:Thay: $x = 1$, ta có: $1 = 2A$, suy ra: $A = frac12.$Thay: $x = – 1$, ta có: $1 = – 2B$, suy ra: $B = – frac12.$Thay: $x = – 2$, ta có: $4 = – 5C$, suy ra: $C = – frac54.$Do đó: $I = int_2^3 fracx^2left( x^2 – 1 ight)(x + 2) dx$ $ = int_2^3 left( frac12frac1x – 1 – frac12frac1x + 1 – frac54frac1x + 2 ight) dx$ $ = left. left< x + 2 ight> ight|_2^3$ $ = frac12ln frac32.$Cách 2: (Nhảy tầng lầu)$fracx^2left( x^2 – 1 ight)(x + 2)$ $ = fracx^2 – 1 + 1left( x^2 – 1 ight)(x + 2)$ $ = frac1x + 2 + frac1(x – 1)(x + 1)(x + 2)$ $ = frac1x + 2 + frac12fracx(x + 1) – (x – 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)(x + 2)$ $ = frac1x + 2 + frac12left< fracx(x – 1)(x + 2) – frac1x + 1 ight>$ $ = frac1x + 2 + frac12left< 1 + frac13left( frac1x – 1 – frac1x + 2 ight) – frac1x + 1 ight>.$Từ đó suy ra kết quả.