Ma trận trực giao là gì

     
Mỗi thành phần của một ma trận thường được ký hiệu bởi một thay đổi với nhị chỉ số sinh sống dưới. Ví dụ, a2,1 biểu diễn phần tử ở hàng đồ vật hai và cột thứ nhất của ma trận A.

Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì

Bạn đã xem: Ma trận trực giao là gì

Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật<1>—các số, ký kết hiệu, hoặc biểu thức, bố trí theo hàng với cột<2><3>—mà mỗi ma trận tuân theo hồ hết quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được hotline là các phần tử hoặc mục. Lấy ví dụ như một ma trận bao gồm 2 hàng cùng 3 cột.

. 1&9&-1320&5&-6end}.}


*

Khi những ma trận gồm cùng form size (chúng có cùng số sản phẩm và thuộc số cột), thì có thể thực hiện tại phép cộng hoặc trừ nhị ma trận bên trên các bộ phận tương ứng của chúng. Mặc dù vậy, phép tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ rất có thể thực hiện tại được lúc ma trận thứ nhất có số cột thông qua số hàng của ma trận sản phẩm công nghệ hai. Ứng dụng chủ yếu của ma trận chính là phép màn trình diễn các biến đổi tuyến tính, có nghĩa là sự tổng quát hóa hàm con đường tính như f(x) = 4x . Ví dụ, phép quay những vectơ trong không khí ba chiều là 1 trong những phép biến hóa tuyến tính mà hoàn toàn có thể biểu diễn bởi một ma trận xoay R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ có một cột) diễn tả vị trí của một điểm trong ko gian, tích của Rv là 1 trong những vec tơ cột diễn đạt vị trí của đặc điểm đó sau phép con quay này. Tích của nhị ma trận chuyển đổi là một ma trận trình diễn hợp của nhì phép thay đổi tuyến tính. Một ứng dụng khác của ma trận đó là tìm nghiệm của những hệ phương trình đường tính. Nếu là ma trận vuông, rất có thể thu được một số trong những tính hóa học của nó bằng phương pháp tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch nếu còn chỉ nếu định thức của nó khác không. ý niệm hình học của một phép đổi khác tuyến tính là nhận ra (cùng cùng với những tin tức khác) từ bỏ trị riêng với vec tơ riêng của ma trận.

Có thể thấy áp dụng của định hướng ma trận trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Trong mỗi nhánh của vật dụng lý học, bao hàm cơ học cổ điển, quang đãng học, năng lượng điện từ học, cơ học tập lượng tử, và điện cồn lực học tập lượng tử, bọn chúng được sử dụng để phân tích các hiện tượng kỳ lạ vật lý, như vận động của trang bị rắn. Trong hình ảnh máy tính, ma trận được áp dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình hiển thị 2 chiều. Trong lý thuyết xác suất với thống kê, các ma trận hốt nhiên được sử dụng để diễn đạt tập hợp các xác suất; ví dụ, chúng dùng trong thuật toán PageRank để xếp hạng những trang vào lệnh tìm kiếm kiếm của Google.<4> Phép tính ma trận tổng thể hóa những khái niệm trong giải tích như đạo hàm với hàm mũ so với số chiều to hơn.

Một nhánh bao gồm của giải tích số dành riêng để cải cách và phát triển các thuật toán có ích cho các thống kê giám sát ma trận, một chủ đề đã hàng ngàn năm tuổi và là một lĩnh vực nghiên cứu vớt rộng ngày nay. Cách thức khai triển ma trận làm đơn giản hóa các tính toán cả về mặt kim chỉ nan lẫn thực hành. Gần như thuật toán dựa vào những cấu trúc của những ma trận sệt biệt, như ma trận thưa (sparse) với ma trận ngay gần chéo, giúp giải quyết những tính toán trong phương pháp bộ phận hữu hạn và những đo lường khác. Ma trận vô hạn xuất hiện trong cơ học thiên thể và kim chỉ nan nguyên tử. Một ví dụ đơn giản dễ dàng về ma trận vô hạn là ma trận biểu diễn những toán tử đạo hàm, mà công dụng đến chuỗi Taylor của một hàm số.

1 Định nghĩa 1.1 Độ bự 2 lịch sử vẻ vang 3 ký hiệu 4 những phép toán cơ phiên bản 4.1 Phép cộng, nhân một số với ma trận, với ma trận chuyển vị 4.2 Nhân ma trận 4.3 Phép toán hàng 4.4 Ma trận bé 5 Phương trình con đường tính 6 biến hóa tuyến tính 7 Ma trận vuông 7.1 các loại ma trận đặc biệt quan trọng 7.1.1 Ma trận tam giác 7.1.2 Ma trận đơn vị chức năng 7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7.1.4 Ma trận khả nghịch với nghịch đảo của nó 7.1.5 Ma trận khẳng định 7.1.6 Ma trận trực giao 7.2 Các đo lường và thống kê chủ yếu hèn 7.2.1 lốt 7.2.2 Định thức 7.2.3 Ma trận nghịch hòn đảo 7.2.4 Vectơ riêng cùng trị riêng 8 Khía cạnh đo lường và tính toán 9 so với ma trận 10 điều tỉ mỷ đại số trừu tượng và tổng quát hóa 10.1 Ma trận với các phần tử mở rộng 10.2 Mối contact với ánh xạ tuyến tính 10.3 team ma trận 10.4 Ma trận rỗng 11 Ứng dụng 11.1 định hướng đồ thị 11.2 Giải tích và hình học tập 11.3 kim chỉ nan xác suất và thống kê 11.4 Đối xứng với các chuyển đổi trong đồ vật lý học 11.5 tổ hợp tuyến tính của những trạng thái lượng tử 11.6 giao động riêng 11.7 quang hình học 11.8 Điện tử học tập 12 xem thêm 13 tìm hiểu thêm 13.1 tìm hiểu thêm về trang bị lý 13.2 tham khảo về lịch sử dân tộc 14 links ngoài

Định nghĩa

Ma trận là một trong mảng chữ nhật chứa các số hoặc những đối tượng người tiêu dùng toán học khác, mà rất có thể định nghĩa một số phép toán như cộng hoặc nhân trên các ma trận.<5> Hay chạm mặt nhất sẽ là ma trận trên một ngôi trường F là một trong mảng chữ nhật chứa các đại lượng vô vị trí hướng của F.<6><7> nội dung bài viết này kể đến các ma trận thực với phức, tức là các ma trận nhưng mà các phần tử của nó là số đông số thực hoặc số phức. Những một số loại ma trận tổng quát hơn được bàn thảo ở mặt dưới. Ví dụ, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,620,4&5,59,7&-6,2end}.}



Các số, cam kết hiệu hay biểu thức trong ma trận được call là các thành phần của nó. Những đường theo phương ngang hoặc phương dọc đựng các phần tử trong ma trận được gọi khớp ứng là hàng cùng cột.

Độ béo

Độ lớn hay độ lớn của ma trận được có mang bằng số lượng hàng với cột nhưng ma trận có. Một ma trận m hàng và n cột được call là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m với n được điện thoại tư vấn là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A ở trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ tất cả một hàng điện thoại tư vấn là vectơ hàng, và số đông ma trận chỉ bao gồm một cột call là vectơ cột. Ma trận có cùng số hàng và số cột được điện thoại tư vấn là ma trận vuông. Ma trận gồm vô hạn số sản phẩm hoặc số cột (hoặc cả hai) được call là ma trận vô hạn. Trong một số trong những trường hợp, như lịch trình đại số lắp thêm tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

tên thường gọi Độ mập Ví dụ biểu đạt Vectơ sản phẩm 1 × n 3&7&2end}}




Ma trận có một cột, đôi lúc được dùng để biểu diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&51&11&72&6&3end}}



Ma trận tất cả cùng số hàng và số cột, nó được áp dụng để màn biểu diễn phép đổi khác tuyến tính tự một không khí vec tơ vào thiết yếu nó, như phép phản nghịch xạ, phép con quay hoặc ánh xạ cắt.

lịch sử

Ma trận tất cả một lịch sử vẻ vang dài về vận dụng trong giải những phương trình đường tính nhưng bọn chúng được biết đến là những mảng tính đến tận trong thời điểm 1800. Cuốn sách Cửu chương toán thuật viết vào tầm khoảng năm 152 TCN đưa ra phương trận để giải hệ năm phương trình tuyến tính,<8> bao gồm khái niệm về định thức. Năm 1545 nhà toán học bạn Ý Girolamo Cardano giới thiệu phương pháp giải này vào châu Âu khi ông ra mắt quyển Ars Magna.<9> đơn vị toán học tập Nhật bản Seki sẽ sử dụng phương thức mảng này nhằm giải hệ phương trình vào khoảng thời gian 1683.<10> nhà toán học Hà Lan Jan de Witt lần đầu tiên biểu diễn các biến đổi dưới dạng ma trận mảng trong cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).<11> Giữa những năm 1700 và 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz công bố cách thức sử dụng các mảng để ghi lại thông tin giỏi tìm nghiệm và nghiên cứu và phân tích trên 50 loại ma trận không giống nhau.

Xem thêm: Lời Bài Thơ Chị Chị Em Em Nghĩ Cũng Tình, Chị Chị Em Em Nghĩ Cũng Tình

<9> Cramer chỉ dẫn quy tắc của ông vào khoảng thời gian 1750.

Thuật ngữ trong giờ Anh “matrix” (tiếng Latin là “womb”, dẫn xuất tự mater—mẹ<12>) vì chưng James Joseph Sylvester nêu ra vào năm 1850,<13> khi ông phân biệt rằng ma trận là một đối tượng làm mở ra một số định thức mà ngày này gọi là phần phụ đại số, có nghĩa là định thức của các ma trận nhỏ tuổi hơn nhận được từ ma trận thuở đầu bằng giải pháp xóa đi những hàng và những cột. Trong một bài bác báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đã khái niệm trong bài bác báo trước về “Ma trận” là một mảng chữ nhật chứa những phần tử, mà hầu hết định thức không giống nhau có thể đưa ra định thức của ma trận mẹ.<14>

Arthur Cayley đăng một chuyên luận về những phép thay đổi hình học thực hiện ma trận ngoài những phép chuyển đổi quay đang được điều tra khảo sát trước đó. Chũm vào đó, ông định nghĩa các phép toán như cộng, trừ, nhân cùng chia số đông ma trận này và minh chứng các quy tắc kết hợp và phân phối vẫn được thỏa mãn. Cayley đã phân tích và minh chứng đặc thù không đổi chác của phép nhân ma trận cũng như tính đổi chác của phép cộng ma trận.<9> lý thuyết ma trận nguyên sơ bị số lượng giới hạn ở giải pháp sử dụng những mảng và tính định thức và các phép toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đã làm ra cuộc bí quyết mạng cho định hướng này. Ông áp dụng khái niệm ma trận đến hệ phương trình đường tính độc lập. Năm 1858 Cayley chào làng Hồi ký kết về triết lý ma trận<15><16> trong các số ấy ông nêu ra và minh chứng định lý Cayley-Hamilton.<9>

Nhà toán học người Anh Cullis là người đầu tiên sử dụng ký hiệu ngoặc tân tiến cho ma trận vào thời điểm năm 1913 cùng ông cũng viết ra ký kết hiệu đặc biệt quan trọng A = để màn trình diễn một ma trận với ai,j là thành phần ở hàng đồ vật i và cột máy j.<9>

Quá trình phân tích định thức khởi hành từ một vài nguồn không giống nhau.<17> các bài toán số học tập dẫn Gauss đi tới tương tác các hệ số của dạng toàn phương, đa số đa thức gồm dạng x2 + xy − 2y2, với ánh xạ tuyến đường tính trong không gian ba chiều cùng với ma trận. Eisenstein đã phát triển xa hơn những khái niệm này, với thừa nhận xét theo phong cách phát biểu lộ đại rằng tích ma trận là không giao hoán. Cauchy là bạn đầu tiên minh chứng những mệnh đề bao quát về định thức, lúc ông sử dụng định nghĩa như sau về định thức của ma trận A = : thay thế lũy vượt ajk bằng ajk trong nhiều thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i
với Π cam kết hiệu tích những hệ số đứng đằng sau. Ông cũng minh chứng vào năm 1829 rằng quý hiếm riêng của các ma trận đối xứng là thực.

Xem thêm: Cảm Xúc Của Con Người Là Gì, Tại Sao Cần Quản Lý Cảm Xúc

<18> Jacobi nghiên cứu và phân tích “định thức hàm”—mà sau này trở thành định thức Jacobi như bí quyết gọi của Sylvester—nó được ứng dụng để nghiên cứu và phân tích các thay đổi hình học ở mức tổng thể (hay vô cùng bé); bài báo Vorlesungen über die Theorie der Determinanten của Kronecker <19> cùng Zur Determinantentheorie của Weierstrass,<20> cả hai hồ hết được công bố vào năm 1903, lần thứ nhất đã coi định thức theo phong cách tiên đề hóa, ngược lại so với cách tiếp cận cụ thể ở mọi lần trước đó như trong công thức của Cauchy.

Nhiều định lý ban đầu chỉ phân phát biểu cho các ma trận nhỏ, ví như định lý Cayley–Hamilton được chứng tỏ cho ma trận 2×2 như Cayley đã cho thấy trong luận án của mình, và vì chưng Hamilton mang lại ma trận 4×4. Frobenius, dựa trên những dạng song tuyến tính, đã tổng thể định lý quý phái mọi kích cỡ (1898). Cũng vào vào cuối thế kỷ 19 cách thức khủ Gauss–Jordan (tổng quát lác hóa mang đến trường hợp đặc biệt đó là phép khử Gauss) vì chưng nhà trắc địa Wilhelm Jordan nêu ra. Trong thời điểm đầu thế kỷ 20, ma trận đã đạt tới vai trò trung trọng điểm trong đại số đường tính,<21> một trong những phần nhờ áp dụng của nó vào phân loại khối hệ thống số vô cùng phức trong cầm cố kỷ trước.

Sự mở đầu của cơ học ma trận do các nhà thứ lý Heisenberg, Born cùng Jordan nêu ra đã dẫn tới nghiên cứu về ma trận tất cả vô hạn hàng cùng cột.<22> Later, von Neumann đã thiết lập lên phát biểu toán học tập của cơ học tập lượng tử, bằng cách phát triển xa hơn những khái niệm của giải tích hàm như toán tử tuyến đường tính trong không gian Hilbert, mà, nói sơ lược, khớp ứng với không gian Euclide, nhưng gồm vô hạn hướng độc lập.

A = . =a_&a_&cdots &a_a_&a_&cdots &a_vdots &vdots &ddots &vdots a_&a_&cdots &a_end}.}