Ma trận nghịch đảo là gì

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. định nghĩa ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được call là ma trận đơn vị chức năng nếu A.I = I.A = A, với tất cả ma trận vuông A cấp n

Ta phân biệt ma trận bên trên là tồn tại. Thiệt vậy, ma trận thỏa điều kiện trên bao gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai ma trận đơn vị I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị nên I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là 1 trong ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, giả dụ tồn tại một ma trận B vuông cấp n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.Bạn đã xem: Ma trận nghịch đảo là gì

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 dìm xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là duy nhất, vì giả sử trường thọ ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Mặc dù nhiên, hiện nay tại, có tương đối nhiều giáo trình quốc tế đã đề cập mang đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.Bạn đang xem: Ma trận nghịch hòn đảo là gì

Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ tồn trên ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải ví như tồn trên ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, đương nhiên A khả nghịch trường hợp A khả nghịch trái với khả nghịch phải.Bạn vẫn xem: Ma trận nghịch đảo là gì

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận ko không khả nghịch.

Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo là gì

1.4 những ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Vị đó: A, B là khả nghịch với A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với tất cả ma trận vuông cấp 2 ta phần nhiều có:


*

2. Tính chất:

1. Trường hợp A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ chứng minh kết trái trên nhé)

3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.2 Tính chất: các ma trận sơ cấp loại (hay cột) phần nhiều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là 1 trong những ma trận sơ cấp cho dòng.

Xem thêm: Fell Down Là Gì - Fall Down, Fall Down On Sth Là Gì

Ta hoàn toàn có thể kiểm tra trực tiếp công dụng trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 cái của ma trận đơn vị với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 1


*

Ma trận sơ cấp dạng 2

Ma trận sơ cung cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Lúc đó, các xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được từ A bởi một số trong những hữu hạn những phép đổi khác sơ cấp loại (cột)

3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Bạn đọc rất có thể xem chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2). Lúc đó, các khẳng định sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch khi và chỉ còn khi dạng chính tắc của A là In

2. Nếu như A khả nghịch thì In nhận được từ A bởi một vài hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp cái (cột); đồng thời, thiết yếu dãy những phép chuyển đổi sơ cấp mẫu (cột) đó sẽ biến In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

Xem thêm: Cách Dùng Being Là Gì - Cấu Trúc Và Cách Dùng Being Trong Tiếng Anh

4. Thuật toán Gausβ – Jordan kiếm tìm ma trận nghịch đảo bằng phép đổi khác sơ cấp:

Ta thực hiện thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm nghịch hòn đảo (nếu có)của ma trận A vuông cung cấp n trên K. Thuật toán này được kiến tạo dựa vào tác dụng thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị chức năng cấp n I vào bên yêu cầu ma trận A

Lập ma trận bỏ ra khối cung cấp n x 2n

– ví như A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– ví như A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong vượt trình chuyển đổi nếu A’ xuất hiện thêm ít tuyệt nhất 1 chiếc không thì lập tức tóm lại A không khả nghịch (không rất cần được đưa A’ về dạng thiết yếu tắc) và ngừng thuật toán.

Ví dụ minh họa: sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch hòn đảo của: