Điểm Đối Xứng Qua Mặt Phẳng

     

Phép trở thành hình F trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M (trong không gian), xác định được một điểm M’duy nhất hotline là ảnh của điểm M qua phép biến đổi hình F. Ta còn nói F vươn lên là điểm M thành điểm M’và kí hiệu M’= F(M).

Bạn đang xem: điểm đối xứng qua mặt phẳng

Qua phép trở thành hình F, mỗi hìnhđược trở thành hìnhgồm tất cả các hình ảnh của các điểm ở trong hình.

Sau trên đây ta xét phép đối xứng qua mặt phẳng, đó là một phép biến đổi hình thường gặp.1. Phép đối xứng qua khía cạnh phẳng

ĐỊNH NGHĨA 1 (h.7)

Phép đối xứng qua khía cạnh phẳng(P) là phép trở thành hình vươn lên là mỗi điểm ở trong (P) thành bao gồm nó và biến hóa mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’sao mang đến (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM’.

*

Hình 7

Nếu phép đối xứng qua mp(P) biến chuyển hai điểm M, N lần lượt thành nhì điển M’, N’thì M’N’= MN. (Như vậy có thể nói : phép đối xứng qua khía cạnh phẳng là phép thay đổi hình bảo toàn khoảng cách giữa nhì điểm bất kì).

*

Hình 8

1(để minh chứng định lí 1)

NếuM, Nnằn trên (P) thìM’N’trùngMN’trùngNnênM’N’=MN.

Nếu gồm ít nhất 1 trong các hai điểmM, Nkhông nằm ở (P) thì có mp(Q) đi qua các điểmM, N, M’, N’.Hãy dùng kiến thức và kỹ năng hình học tập phẳng để bệnh minhM’N’=MN.

Khi đứng trước một tấm gương phẳng, mỗi cá nhân sẽ nhìn thấy hình của bản thân mình ở “phía sau” tấm gương kia (h.9). Phép đối xứng qua phương diện phẳng của tấm gương sẽ “biến” mọi cá nhân thành hình của họ.

*
Hình 9.Ảnh chụp một em bé trước gương

Hình 10 là ảnh của Tháp Rùa vẫn soi bóng cùng bề mặt nước hồ gươm (Hà Nội). Mặt hồ nước xem như là 1 phần của khía cạnh phẳng, phép đối xứng qua mặt phẳng đó thay đổi Tháp Rùa thành loại bóng của nó.

*

Hình 10.Ảnh chụp Tháp Rùa cùng bóng của nó

2. Mặt phẳng đối xứng của một hình

ĐỊNH NGHĨA 2

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) đổi thay hìnhthành thiết yếu nó thì (P) call làmặt phẳng đối xứngcủa hình.Một số ví dụVí dụ 1

Mọi phương diện phẳng đi qua tâm của phương diện cầu phần nhiều là phương diện phẳng đối xứng của mặt mong (h.11).

*

Hình 11

Ví dụ 2

Cho tứ diện rất nhiều ABCD (h.12). Gọi M là trung điểm của cạnh CD thì phép đối xứng qua mp(ABM) biến hóa A thành A, B thành B, C thành D, D thành C. Như vậy, phép đối xứng đó biến đổi tứ diện ABCD thành thiết yếu nó, suy ra mặt phẳng (ABM) thành phương diện phẳng đối xứng của tứ diện ABCD.

Hình tứ diện hầu như ABCD tất cả sáu khía cạnh phẳng đối xứng. Đó là những mặt phẳng đi qua 1 cạnh cùng trung điểm của cạnh đối diện.

*
Hình 12

Ví dụ 3

Xét hình lập phương ABCD.A’B’C’D’(h.13).

*

Hình 13

Nếu (P) là khía cạnh phẳng trung trực của cạnh AB thì nó cũng là mặt phẳng trung trực của cạnh AB thì nó cũng là mặt phẳng trung trực của các cạnh CD, A’B’và C’D’, bởi vậy nó là phương diện phẳng đối xứng của hình lập phương. Tương tự, những mặt phẳng trung trực của những cạnh AD, và AA’cũng là rất nhiều mặt phẳng đối xứng của hình lập phương.

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua hai cạnh đối diện AB cùng C’D’thì (Q) là mặt phẳng đối xứng của hình lập phương vì chưng phép đối xứng qua (Q) biến chuyển mỗi điểm A, B, C’, D’thành chủ yếu nó và biến hóa điểm A’thành D, D thành A’,C thành B’và B’thành C.

?1Như vậy hình lập phương tất cả bao nhiêu khía cạnh phẳngđối xứng ?3. Hình chén diện các và mặt phẳng đối xứng của nóHình 14 là một trong hình đa diện có 8 mặt là các tam giác đầy đủ :EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCDFDA,có 6 đỉnhA, B, C, D, E, F, mỗi đỉnh là đỉnh thông thường cho 4 tam giácđều. Hình đó hotline làhình chén diện đều(hayhình tám khía cạnh đều) cùng được kí hiệu làABCDEF.

*

Hình 14

Tính chất

Bốn đỉnh A, B, C, D vị trí một mặt phẳng với đó là một trong mặt phẳng đối xứng của hình chén bát diện đa số ABCDEF.Chứng minh

Vì mỗi điểmA, B, C, Dcách đa số hai điểmEFnên chúng nằm xung quanh phẳng trung trực của đoạn thẳngEF. Phép đối xứng qua mặt phẳng đó biến đổi mỗi điểmA, B, C, Dthành chính nó và biến chuyển điểmEthànhF,FthànhEnên mp(ABCD) là mặt phẳng đối xứng của bát diện đềuABCDEF

2Tìm thêm những mặt phẳng đối xứng khác của hình chén bát diện đều.4. Phép dời hình cùng sự bằng nhau của các hìnhPhép dời hình trong không gian được định nghĩa tương tự như trong khía cạnh phẳng.Định nghĩa phép dời hình

Một phép trở nên hình F trong không khí được call làphép dời hìnhnếu nó bảo toàn khoảng cách giữa nhì điểm bất kể (có nghĩa là ví như F biến đổi hai điểm bất kì M, N thứu tự thành hai điểm M’, N’thì M’N’=MN).Từ tư tưởng đó, ta suy ra phép dời hình biến chuyển đường thẳng thành đường thẳng, phương diện phẳng thành mặt phẳng,… .Hiển nhiên phép đối xứng qua khía cạnh phẳng là 1 trong những phép dời hình.Phép đồng nhất(biến từng điểm thành chính nó) là một phép dời hình.Rõ ràng nếu thực hiện tiếp tục các phép dời hình thì ta cũng có kết quả là phép dời hình. Nói theo một cách khác :Hợp thành của rất nhiều phép dời hình là phép dời hình.Một số lấy một ví dụ về phép dời hìnhNgoài phép đối xứng quanh mặt phẳng, ta thường gặp gỡ một số phép dời hình sau đây :

Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ

*
là phép phát triển thành hình biến chuyển mỗi điểmMthành điểmM’sao cho
*
.

Phép đối xứng qua đường thẳng(còn gọi làphép đối xứng trục) : mang lại đường thẳngd, phép đối xứng qua con đường thẳngdlà phép thay đổi hình biến đổi mỗi điểm thuộcdthành bao gồm nó và biến đổi mỗi điểmMkhông thuộcdthành điểmM’sao đến trong khía cạnh phẳng (M, d),dlà đường trung trực của đoạn thẳngMM’.

Phép đối xứng qua 1 điểm(còn call làphép đối xứng tâm) : cho điểmO, phép đối xứng qua điểmOlà phép thay đổi hình trở nên mỗi điểmMthành điểmM’sao cho

*
.

Xem thêm: Đề 1: Hãy Tả Lại Hình Ảnh Cây Đào Vào Dịp Tết Đến Xuân Về Hay Nhất

Định nghĩa nhì hình bằng nhau

Hai hìnhgọi làbằng nhaunếu gồm một phép dời hình biến đổi hình này thành những hình kia.?2Hai mặt mong có nửa đường kính bằng nhau thì có bởi nhau hay không ? bởi vì sao ?Ví dụ 4.Cho hình chóp tam giác phần đông S.ABC. điện thoại tư vấn A’, B’, C’lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA cùng AB. Khi ấy hai tứ diện SABA’và SBCB’bằng nhau.Giải(h.15)

*

Hình 15

Thật vậy, phép đối xứng qua mp(SAA’) biến các điểmS, A, B, A’lần lượt thành các điểmS, A, C, A’và phép đối xứng qua mp(SCC’) biến những điểmS, A, C, A’lần lượt thành những điểmS, B, C, B’. Như vậy, qua nhì phép đối xứng trên, tứ đỉnhS, A, B, A’của tứ diệnSABAbiến thành tứ đỉnhS, B, C, B’của tứ diệnSBCB’nêu theo định nghĩa, nhị tứ diện đó bởi nhau. ¢ĐỊNH LÍ 2

Hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’bằng nhau nếu bọn chúng có các cạnh khớp ứng bằng nhau, tức thị AB=A’B’, BC=B’C’, CD=C’D’, AC=A’C’, BD=B’D’.Chứng minh.Ta xét những trường phù hợp sau :

Trường phù hợp 1(h.16).Hai hình tứ diện có ba cặp đỉnh khớp ứng trùng nhau,chẳng hạnAtrùngA’, BtrùngB’, CtrùngC’, DkhácD’.

*

Hình 16

Khi đó, mỗi điểmA, B, Ccách mọi hai điểmDD’trên mp(ABC) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳngDD’,suy ra phép đối xứng qua mp(ABC) biến những đỉnhA, B, C, Dlần lượt thành những đỉnhA’, B’, C’, D’.Vậy hai tứ diệnABCDA’B’C’D’bằng nhau.

Trường thích hợp 2(h.17). Nhị hình tứ diện đó bao gồm hai cặp đỉnh khớp ứng trùng nhau,chẳng hạnAtrùngA’, BtrùngB’.

*

Hình 17

Khi đó gọi (P) là khía cạnh phẳng trung trực của đoạn thẳngCC’thì (P) đi quaAB(vìABcùng biện pháp đều nhị điểmCC’). Vậy phép đối xứng qua mp(P) sẽ biến đổi cá điểmA, B, C, Dlần lượt thành các điểmA’, B’, C’, D1và cho nên tứ diệnABCDbằng tứ diệnA’B’C’D1.

Vì nhị tứ diệnA’B’C’D1A’B’C’D’có các cạnh khớp ứng bằng nhau với có tía đỉnh tương xứng trùng nhau yêu cầu theo trường hòa hợp 1, chúng bởi nhau.

Trường hợp 3. Nhì hình tứ diện gồm một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau,chẳng hạnAtrùngA’.

Khi đó, gọi (Q) là phương diện phẳng trung trực củaBB’thì (Q) đi quaA(vìAcách đềuBB’). Vậy phép đối xứng qua (Q) biến những điểmA, B, C, Dlần lượt thành những điểmA’, B’, C1, D1và vày đó, nhị tứ diệnABCDA’B’C1D1bằng nhau. Mặt khác, hai tứ diệnA’B’C1D1A’B’C’D’có những cạnh tương ứng bằng nhau và bao gồm hai cặp đỉnh tương ứng trùng nhau buộc phải theo trường thích hợp 2, chúng bởi nhau.

Trường đúng theo 4. Hai hình tứ diện đó không tồn tại cặp đỉnh tương xứng nào trùng nhau.

Khi đó hotline (R) là phương diện phẳng trung trực củaAA’, phép đối xứng qua (R) biến những điểmA, B, C, Dlần lượt thành những điểmA’, B1, C1, D1nên tứ diệnABCDbằng tứ diệnA’B1C1D1: mà lại hai tứ diệnA’B1C1D1A’B’C’D’có cạnh khớp ứng bằng nhau với một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau, vì vậy chúng đều nhau theo trường hòa hợp 3. ¢HỆ QUẢ 1

Hai tứ diện đều phải sở hữu cạnh đều bằng nhau thì bằng nhau.

HỆ QUẢ 2

Hai hình lập phương tất cả cạnh đều bằng nhau thì bằng nhau.Chứng minh(h.18)

*

Hình 18

Giả sửABCD. A’B’C’D’MNPQ.M’N’P’Q’là nhị hình lập phương bao gồm cạnh phần nhiều bằnga. Nhị tứ diệnABDA’MNQM’có các cạnh khớp ứng bằng nhau nên bằng nhau, tức là có phép dời hìnhFbiến các điểmA, B, D, A’lần lượt thànhM, N, Q, M’. VìFlà phép dời hình nênFbiến hình vuông vắn thành hình vuông, bởi vì đóFbiến những điểmCthành điểmP, biến điểmB’thànhN’,biến điểmD’thànhQ’và biến những điểmC’thànhP’.Như vậy, hai hình lập phương đã cho bởi nhau. ¢

Câu hỏi và bài tập

6.GọiĐlà phép đối xứng qua mặt phẳng (P) vàalà một mặt đường thẳng làm sao đó. Trả sửĐbiến đổi đường thẳngathành đường thẳnga’. Vào trường hợp nào thì :

a)atrùng vớia’;

b)asong songa’;

c)acắta’;

d)aa’chéo nhau ?7.Tìm những mặt phẳng đối xứng của những hình sau đây :

a) Hình chóp tứ giác số đông ;

b) Hình chóp cụt tam giác đa số ;

c) Hình vỏ hộp chữ nhật mà lại không có mặt nào là hình vuông.8.Cho hình lập phươngABCD. A’B’C’D’.Chứng minh rằng :

a) các hình chópA. A’B’C’D’C’.ABCDbằng nhau.

b) những hình lăng trụABC.A’B’C’AA’D’.BB’C’bằng nhau.9.Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng trung tâm là hầu như phép dời hình.10.

Xem thêm: Soạn Bài Những Cánh Buồm Sgk Ctst Siêu Ngắn, Những Cánh Buồm Trang 57 Ngữ Văn Lớp 6

Chứng minh rằng :

a) hòa hợp thành của nhị phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là 1 phép tịnh tiến ;

b) thích hợp thành của nhì phéo đối xứng qua nhì mặt phẳng (P) cùng (Q)vuông góc với nhau là 1 phép đối xứng qua mặt đường thẳng.